2011江苏高考：解析几何圆锥曲线

　　【考试说明】

　　江苏新高考对圆锥曲线的要求大为降低，尤其是双曲线和抛物线，主要以小题形式考查，只要掌握标准方程和几何性质；

　　椭圆、圆与函数、不等式、向量等其他知识结合应引起足够的重视，主要考查运算能力、逻辑推理能力以及数形结合、等价转化、分类讨论等能力。

　　【典型例题】

　　1．过双曲线C：

　　的一个焦点作圆 的两条切线，切点分别为A，B，若∠AOB=120°（O是坐标原点），则双曲线C的离心率为 ．

　　点拨：由题意画出图像，选取双曲线的一个焦点，作出图形，根据几何关系得到ɑ，ｃ的关系．

　　答案：2

　　2.已知椭圆的方程为 ，如果

　　直线 与椭圆的一个交点M在x轴的射影恰为椭圆的右焦点F,则椭圆的离心率为 ．

　　点拨：焦点在x轴，c2=16-m2，右交点坐标 ，代入椭圆方程求出m2得离心率．

　　答案：

　　3．设椭圆 上一点P到左准线的距离为10， F是该椭圆的左焦点，若点M满足 ，则 ．

　　点拨：本题充分利用椭圆的两个定义，注意结合图形。由椭圆第二定义得P到左焦点F 距离为6，由第一定义得P到右焦点距离为4， OM是∠FPF的中位线．

　　答案：2

　　4．一动圆与圆 外切，同时与圆 内切，则动圆圆心M的轨迹方程为 ．

　　点拨：设动圆圆心为 ，半径为R，设已知圆的圆心分别为O1、O2，可得方程

　　所以点M的轨迹是椭圆．

　　答案： 。

　　5.已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点F的直线 与C相交于A、B两点，当直线 的斜率为1时，坐标原点O到 的距离为 ．

　　（Ⅰ）求ɑ，b的值；

　　（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当 绕F转到某一位置时，有 成立？若存在，求出所有的P的坐标与 的方程；若不存在，说明理由．

　　点拨：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。

　　解：（Ⅰ）设F(ｃ,0),当 的斜率为1时，其方程为 ,O到 的距离为

　　（Ⅱ）C上存在点P，使得当 绕F转到某一位置时，有 成立

　　由 （Ⅰ）知C的方程为

　　设

　　(ⅰ) 当 不垂直x轴时，设 的方程为y=k(x-1)

　　C上的点P使 成立的充要条件是P点的坐标为 ， 且

　　整理得

　　又A、B在C上，即

　　故 ①

　　将y=k(x-1)代入 ， 并代简得，

　　于是 , = ,

　　代入①解得，k2=2，此时 于是

　　， 即

　　因此，当 时， ，

　　的方程为

　　当 时， ，

　　的方程为

　　（ⅱ）当 垂直于x轴时，由

　　知，C上不存在点P使 成立．

　　综上，C上存在点 使

　　成立，此时 的方程为

　　6.如图已知椭圆

　　的左顶点，右焦点分别为A、F，右准线为m，圆D： ．⑴若圆D过A、F两点，求椭圆C的方程；

　　⑵若直线m上不存在点Q，使AFQ为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围；

　　⑶在⑴的条件下，若直线m与x轴的交点为K，将直线 绕K顺时针旋转 得直线

　　,动点P在直线

　　上，过P作圆D的两条切线，切点分别为M、N，求弦长MN的最小值．

　　点拨：⑵直线m上不存在点Q，使AFQ为等腰三角形即FQ≥FA恒成立．

　　⑶利用几何性质构建弦长MN的函数求最值．

　　解：⑴圆 与x轴交点 ，

　　故 所以 ，椭圆方程是：

　　；

　　⑵设直线m与

　　x轴的交点是Q，

　　依题意 FQ≥FA

　　即

　　⑶直线 的方程是 ，圆D的圆心是 ，半径是

　　设MN与PD相交于H，则H是MN的中点且PM⊥MD

　　当且仅当PD最小时MN有最小值， PD最小值即D到 的距离

　　所以MN的最小值是